Фамилия Бачмановский — из числа тех, что сразу выдают своего носителя: перед нами типичная фамилия польского или западнорусского дворянства, образованная по модели «на -ский». Суффикс -ский (-цкий) в восточнославянской ономастике чаще всего указывал на принадлежность к месту или владению: человек, носивший такую фамилию, скорее всего, происходил из населённого пункта с названием Бачманово, Бачмановка или Бачманы. Такие топонимы встречаются на территории современной Беларуси и западных областей России (например, в бывшей Гродненской или Минской губерниях).

Основа фамилии — Бачман — скорее всего, прозвище или некалендарное имя. В старину «бачманом» могли называть человека с определённой внешностью или нравом: слово восходит к тюркскому «бачман» (в ряде тюркских языков — «толстяк», «грузный»). В русских говорах XVII–XVIII веков фиксируется и «бачма» — так называли неуклюжего, медлительного человека. Менее вероятна, но возможна связь с польским baczny («внимательный», «зоркий»), откуда могло возникнуть прозвище «Бачман» для осмотрительного или подозрительного человека.

Обратите внимание на окончание: в отличие от фамилий на -ов/-ев, которые в крестьянской среде давали по отцу (Иван — Иванов), фамилии на -ский в Российской империи долгое время оставались привилегией шляхты и духовенства. Бачмановские, скорее всего, относились к мелкопоместной шляхте Речи Посполитой, а после разделов Польши вошли в состав российского дворянства. Встречаются записи о Бачмановских среди униатского духовенства — это тоже типичный путь для такой фамилии: священники часто брали фамилию по названию прихода или села.

Написание фамилии устойчивое, без вариантов вроде «Бочмановский» — это говорит о том, что корень не искажался диалектами. Если ваши предки носили эту фамилию, ищите их в метрических книгах западных губерний: Волынской, Подольской, Киевской, а также в архивах бывших польских воеводств.