Фамилия Бадэй — редкий случай, когда географическое бытование почти сразу указывает на происхождение. Основной ареал этой фамилии — Молдавия и Румыния, откуда она попала в южные регионы бывшей Российской империи, в частности в Бессарабию и Одесскую область. Ударение, скорее всего, падает на последний слог — Бадэ́й, что типично для румынских фамилий.

Корень фамилии — румынское слово «badea», которое имеет два значения. Первое и самое распространённое — почтительное обращение к старшему мужчине, вроде «дядюшка» или «братец» (аналог русского «дедушка» или «батюшка» в уважительном, а не религиозном смысле). Второе, более спорное, — это форма личного имени, производная от «Badea» (Бадеа), которое в свою очередь может быть уменьшительным от «Bogdan» или «Bădărău». В молдавских сёлах «бадей» — это ещё и уважаемый глава рода или старший в семье, к которому обращались за советом.

С точки зрения словообразования, фамилия Бадэй — это чистая основа без русских суффиксов (-ов, -ин, -ский). Она не была переделана на славянский манер, что говорит о её позднем закреплении в документах уже в готовом, румынском виде. Если бы фамилия оформлялась в русской канцелярии XIX века, она могла бы стать Бадеевым или Бадеиным, но этого не произошло: носители сохранили исходную форму, что нередко для бессарабских фамилий молдавского происхождения.

Сравните с однокоренными фамилиями: Бадя, Бадеску, Бэдойу. «Бадя» (Badea) — более распространённая румынская фамилия, а Бадэй — её фонетический вариант, закрепившийся в определённых диалектах. В Молдавии и на Украине фамилия встречается именно в форме Бадэй, тогда как в Румынии чаще пишут Bădei.

Таким образом, предки носителя фамилии Бадэй, скорее всего, были выходцами из молдавских или румынских крестьянских семей, где прозвище или уважительное обращение «бадей» закрепилось за главой дома и перешло в фамилию. Никакой другой версии — ни славянской, ни тюркской — у этой фамилии нет: корень и ареал однозначно указывают на романское происхождение.