Фамилия Бадяй — редкий пример, где фамилия и её основа почти не расходятся во времени. В отличие от большинства русских фамилий, образованных от крестильных имён или профессий, Бадяй — это прозвище, напрямую закрепившееся за человеком. Вероятнее всего, его дали болтливому, пустомеле или человеку, который любил рассказывать небылицы. В южнорусских и украинских говорах «бадяй» означало «пустомеля», «болтун», «враль». Слово это звукоподражательное, от «бадякать» — болтать, говорить вздор. Так что предок носителя фамилии, скорее всего, был говорлив и не всегда точен в словах, за что и получил своё прозвище.

Словообразовательная модель здесь проста и прозрачна: основа «бадяй» превратилась в фамилию без добавления суффиксов -ов, -ин или -ский. Такие «чистые» прозвищные фамилии, без патронимического окончания, характерны для украинской и белорусской традиции, а также для юга России. В русской среде их часто русифицировали, добавляя суффикс, но фамилия Бадяй сохранила исходную форму. Это говорит о том, что её носители могли быть выходцами из украинских или южнорусских земель, где прозвища переходили в фамилии именно в таком виде.

Существует и другая, менее вероятная версия: связь с тюркским корнем «бад» (ветер) или «бадя» (несчастье, беда). Но она не выдерживает критики. Во-первых, фамилия не имеет типичных тюркских суффиксов, во-вторых, фонетически и семантически прозвище «болтун» гораздо органичнее вписывается в восточнославянскую народную культуру, где меткие прозвища давали по поведению. Кроме того, в ономастических справочниках (например, в работах Ю. Федосюка) примеры фамилий от «бадяй» фиксируются именно в контексте болтовни, а не тюркских заимствований.

Географически фамилия Бадяй встречается в основном на Украине (особенно в Черкасской, Полтавской областях) и в прилегающих областях России (Курская, Белгородская). Встречается она и у казаков — в реестрах Запорожской Сечи упоминаются прозвища, от которых позже образовались фамилии. Так что предок мог быть и казаком, получившим своё прозвище в курене.

Таким образом, фамилия Бадяй — это не переосмысленное имя и не ремесло, а прямое, даже резкое прозвище, данное человеку за его языковую активность. Она несёт в себе живую народную характеристику, которая, в отличие от многих фамилий, почти не потеряла своего первоначального смысла.