Фамилия Бадяев образована по стандартной для русских фамилий модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основе, оканчивающейся на мягкий согласный или й. В данном случае основа — Бадяй. Суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?»), то есть Бадяев — сын или потомок человека по имени или прозвищу Бадяй.

Само прозвище Бадяй, скорее всего, имеет диалектное происхождение. В южных и западных русских говорах словом «бадяй» или «бадя» называли болтуна, пустомелю или человека, который говорит невпопад. Также в некоторых областях «бадяжить» означало «медлить, копаться», так что прозвище могло закрепиться за нерасторопным, вялым человеком. Встречается и тюркская версия: от слова «бада» (беда, несчастье) или имени Бадай, которое давали ребенку как оберег от злых сил — считалось, что «плохое» имя отпугнет нечисть. Однако для русской фамилии Бадяев объяснение через диалектное прозвище выглядит более прямым и правдоподобным.

Суффикс -яй в прозвищах (ср. Гуляй, Лентяй, Бродяй) характерен для именований по характерному действию или свойству. В этом ряду Бадяй — типичное прозвище-характеристика, которое давали в быту и которое затем перешло в фамилию. Подобные фамилии чаще всего складывались в крестьянской и мещанской среде, где прозвища были конкретными и меткими.

Географически фамилия Бадяев встречается рассеянно, без ярко выраженного гнезда. Ее можно найти в Поволжье, на Урале и в Сибири — регионах, куда активно переселялись крестьяне из центральной России в XVII–XIX веках. В документах XVIII века упоминаются крестьяне Бадяевы в Пермской губернии, что подтверждает ее исконно русский, а не дворянский характер.

В написании фамилии возможна путаница с Бадаевым (через «а» во втором слоге), но Бадяев — это именно вариант через «я», что указывает на исходное прозвище с этим гласным. Если ваш предок писался через «я», значит, в основе лежало именно «бадяй», а не тюркское «бадай».

Таким образом, фамилия Бадяев происходит от прозвища, данного по речевой или поведенческой особенности, и закрепилась в русской среде не позднее XVII века.