Фамилия Будяй — один из тех случаев, когда прозвище застыло в форме, не тронутой стандартными фамильными суффиксами. В русской традиции фамилии на -ай (Будяй, Гуляй, Шугай) — это обычно «застывшие» прозвища в повелительном наклонении или краткие прилагательные. Но с Будяем история сложнее.

Скорее всего, в основе лежит глагол «будить» или древнерусское «будити» — пробуждать, поднимать ото сна. Прозвище Будяй мог получить человек, который рано вставал, будил других на работу, или же тот, кто «пробуждал» в переносном смысле — заводила, задира, не дающий покоя. В украинском и белорусском наречиях «будяй» также могло означать «тот, кто будит» (ср. украинское «будити»).

Суффикс -яй в прозвищах характерен для южнорусских и западнорусских говоров, а также для украинской и белорусской антропонимии. Поэтому географически фамилия Будяй чаще всего встречается на территории современной Украины, в Беларуси и в южных областях России (Курская, Белгородская, Воронежская области). В этих регионах прозвища с таким окончанием нередко переходили в фамилии без дополнительных суффиксов — их не переделывали в «Будяев» или «Будяйкин», а оставляли как есть.

Вторая, менее распространённая версия — связь с именем Буд (сокращение от Будимир, Будислав). Имена с корнем «буд» были популярны у древних славян: Будимир означал «будящий мир», то есть пробуждающий, славный. В таком случае Будяй — уменьшительно-ласкательная форма от этого имени, по той же модели, что Богдан → Богдай, Радим → Радяй. Но здесь есть нюанс: суффикс -яй для кратких форм встречается реже, чем -ята или -ша, поэтому первая версия — с прозвищем — выглядит убедительнее.

Среди носителей фамилии Будяй большинство — потомки крестьян и казаков. В реестрах запорожских казаков XVII–XVIII веков встречаются прозвища, похожие по структуре, что косвенно подтверждает южнорусское и украинское происхождение. Сословного барьера фамилия не имела: Будяями могли называть и вольного хлебороба, и ремесленника, и мелкого служилого человека.

Интересная деталь: в некоторых говорах слово «будяй» приобретало шутливый или ироничный оттенок — так могли прозвать непоседу, «живчика», который всех тормошит. В этом смысле фамилия не столько указывает на род занятий, сколько на характер предка — энергичного, громкого, заметного.