Прозвище Будей, от которого пошла фамилия, связано с устаревшим словом «буда». Так в старину называли производственное заведение в лесу, где варили поташ, сидели смолу или гнали дёготь, а также селитряный завод. Соответственно, прозвище Будей человек получал по роду занятий. Чаще всего его давали рабочему, приписанному к такому заводу крепостному, строителю лесных печей или торговцу продукцией — смолой, дёгтем, поташем.

Фамилия образована по простой модели: к основе «Буд-» добавили суффикс «-ей». В русских фамилиях такой суффикс встречается редко, чаще в прозвищах и именах. Он указывает на носителя признака: Будей — тот, кто работает или связан с будой. Похожий словообразовательный ход видим в фамилиях Водолей или Злодей, где суффикс выделяет человека по действию или занятию.

Географически фамилия Будей тяготеет к регионам, где было развито лесное производство: север и северо-запад России, Урал, Поволжье. Встречается она и в украинских, белорусских землях, где «буда» тоже была распространённым промыслом. Написание фамилии устойчивое, без вариантов, что говорит о её позднем оформлении — скорее всего, в XVIII–XIX веках, когда закрепилась письменная форма.

В ономастических трудах фамилию не обходят вниманием, но детальных исследований по ней мало. Известно, что в некоторых говорах «будей» могло означать не только рабочего, но и бродягу или человека, живущего при «буде» — временном лесном жилье. Поэтому не исключено, что прозвище давали и по месту обитания, а не только по профессии. Однако основная версия — ремесленная, и она надёжнее подтверждается историей слова.