Фамилия Бадей — редкий случай, когда основа слова почти не даёт намёка на происхождение. В ней нет ни характерного суффикса принадлежности (-ов, -ев, -ин), ни типичного окончания, которое бы указывало на географию фамилии. Это краткая, «голая» форма, что сразу наводит на две версии: либо перед нами украинская или белорусская фамилия, либо прозвище, которое закрепилось без изменений.

Первый и самый прямой путь — от слова «бадья». В русских говорах так называли широкое деревянное ведро для воды, корыта или чана. Прозвище Бадей могли дать бондарю, который делал такие кадки, либо водовозу, который носил воду в бадьях. В этом случае фамилия — профессиональное прозвище, ушедшее в род. Подтверждение находим в старых документах: в новгородских писцовых книгах XV–XVI веков упоминаются крестьяне с прозвищем Бадей, и там же встречается фамилия Бадеев — более распространённый вариант с русским суффиксом.

Вторая версия — отчество от имени Бадей, которое могло быть сокращением от крестильного имени Вадим или Варфоломей. В народной речи «Вадим» нередко стягивалось до «Вадя», «Бадей» или «Бадя». Такая модель характерна для южных и западных регионов, где фамилии часто образовывались без суффиксов: Бадей, Кузьма, Лев. Если это так, то фамилия — прямое указание на предка по имени Бадей, без дополнительных словообразовательных «привесков».

Третий, менее вероятный вариант — тюркское происхождение. В некоторых тюркских языках «бадей» означает «маленький, младший» или является формой личного имени. Но для славянской среды это скорее исключение, чем правило: географически фамилия Бадей встречается в основном в украинских областях (Полтавщина, Черкащина) и в Беларуси, что говорит о её славянских корнях.

С точки зрения словообразования, фамилия Бадей — это пример так называемой «чистой основы», когда прозвище или имя перешло в фамилию без добавления типичных суффиксов. Такие фамилии обычно старше, чем «патронимические» на -ов, и указывают на то, что предок был известен под этим именем или прозвищем в узком кругу. Сословно: скорее всего, крестьянское или казачье происхождение — на юге России и Украине такие «короткие» фамилии были особенно распространены среди вольных людей.

Итог: фамилия Бадей с большой вероятностью произошла от прозвища бондаря или водовоза, либо от уменьшительного имени Вадим. Спор между версиями решает география — если ваши предки с Украины или Беларуси, скорее всего, это отчество. Если из центральной России — ремесленное прозвище.