Фамилия Бидей — редкий случай, когда внешне простая основа ставит перед этимологом несколько загадок. Начнём с главного: в ней нет ни одного из типичных русских фамильных суффиксов (-ов, -ев, -ин, -ский). Это прямо указывает, что фамилия либо искусственная (школьная, семинарская), либо пришла из другой языковой среды и закрепилась в русском быту без переоформления.

Самое вероятное объяснение — украинское или белорусское происхождение. В этих языках суффикс -ей нередко встречается в прозвищах и фамилиях, образованных от глагольных основ. Основа «бид-» легко соотносится с диалектным глаголом «бидити» — ругать, бранить, понукать. Соответственно, Бидей — это прозвище ворчливого, сварливого человека, того, кто постоянно «бидит» (ворчит, придирается). Такая модель словообразования типична для украинской антропонимии: прозвище сразу становилось фамилией, без добавления патронимического суффикса.

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование, — связь с личным именем Вид или Видий. В южнославянских и западноукраинских говорах имя Вид (сокращение от Видослав, Видомир) могло через диалектное смягчение «в» в «б» дать форму Бид. А суффикс -ей — уменьшительно-ласкательный. Тогда Бидей — это «маленький Вид», «Видик». Фонетический переход «в» в «б» встречается в некоторых говорах Полесья и Поднестровья, но для массового явления он редок, поэтому эта гипотеза уступает первой по правдоподобию.

Географически фамилия тяготеет к западным областям Украины и югу Беларуси. В российских архивах Бидей встречается точечно, чаще всего как след переселения из этих регионов в XX веке. Сословной принадлежности не угадать: прозвище могли дать и крестьянину, и казаку, и мещанину — основа не указывает на ремесло или имущественное положение.

Есть ещё один штрих, который делает фамилию непохожей на соседние: её окончание -ей в русском языке не склоняется по падежам как типичная фамилия (ср. «у Бидея» — режут слух, правильно «у Бидей»). Это дополнительное подтверждение того, что фамилия не прошла через стандартную русскую модель склонения, а осталась в исходной украинской форме. Так что ваш предок, скорее всего, был человеком с характером — либо тем, кого в селе помнили за ворчливость, либо носителем редкого уменьшительного имени.