Фамилия Баджи — редкая и неочевидная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не связано с русской ономастической традицией, где работают суффиксы -ов, -ин или -ский. Чтобы понять, откуда она взялась, нужно смотреть в сторону Кавказа или Ближнего Востока.

Скорее всего, фамилия Баджи восходит к тюркскому или иранскому слову «баджи» (или «бадж»), которое в разных языках означает «налог», «подать» или «пошлина». В Османской империи и в государствах Средней Азии так называли сборщика налогов или человека, ведавшего таможенными сборами. Прозвище Баджи могли дать предку, который занимался этим ремеслом — собирал дань или контролировал торговлю на переправе. Модель образования проста: личное прозвище или профессиональное имя без дополнительных суффиксов перешло в фамилию, что типично для многих народов Кавказа и Закавказья (грузин, армян, азербайджанцев), где фамилии часто заканчиваются на гласный.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с арабским словом «баджи» как формой имени Баджа или Баджир, но она не подкрепляется устойчивой традицией. В любом случае, в русском контексте фамилия Баджи — пришлая. Её носители в России — это, как правило, потомки выходцев из Азербайджана, Дагестана или тюркоязычных регионов, где фамилия закрепилась в форме, близкой к исходному прозвищу. По сословному составу предки могли быть как торговцами, так и мелкими чиновниками или военными, но точных данных об этом нет. Главное, что отличает эту фамилию — её прозрачная профессиональная основа, не замутнённая столетиями звуковых изменений.