Фамилия Бадзюх — редкий пример, где прозвище так и не превратилось в привычную русскую форму на -ов или -ин, а застыло в исходном виде. В ней слышен отголосок белорусского глагола «бадзяцца» — бродить, бродяжничать. Скорее всего, Бадзюхом в старину называли странника, человека, который много скитался, не сидел на месте. Это прозвище хорошо ложится на модель, по которой в белорусских говорах образовывали названия людей по действию: суффикс -юх придавал слову разговорный, даже фамильярный оттенок.

Есть и другая версия, хотя она менее очевидна. В украинских диалектах встречается слово «бадзья» — бадья, то есть выдолбленная из дерева посудина для хранения мёда, ушат или большое ведро. Если прозвище пошло от этого корня, то предок носителя фамилии мог заниматься изготовлением или продажей бадей, то есть был бочаром. Версия правдоподобна, но уступает первой: глагольное прозвище «бродяга» встречается в антропонимии чаще, чем прозвище от названия предмета утвари.

Третье объяснение — совсем на периферии. Украинское слово «бадя» означает «ленивый вол». Если принять эту гипотезу, родоначальник Бадзюх мог быть либо заводчиком крупного рогатого скота, либо медлительным, флегматичным человеком, которого дразнили за неторопливость. Но это толкование слабее остальных: прозвище от названия вола — большая редкость для восточнославянских фамилий, и вряд ли оно дало бы такую устойчивую форму, как Бадзюх.

Сама фамилия — типично западнорусская, скорее всего, с территории современной Беларуси или западной Украины. Суффикс -юх характерен именно для этих регионов: в русском языке он почти не давал фамилий, зато в белорусской и украинской ономастике встречается (ср. Костюх, Левчук). По сословной принадлежности Бадзюхи, вероятнее всего, были крестьянами или мещанами — в дворянскую среду такие прозвища проникали редко.

Итог простой: скорее всего, первый Бадзюх был бродягой или человеком, который много ходил по свету. Вариант с бочаром возможен, но менее убедителен. Версия с ленивым волом — натяжка. Фамилия осталась в первоначальной прозвищной форме без дополнительных суффиксов, и это делает её заметной даже на фоне других редких западнорусских фамилий.