Фамилия Багаджиев — редкая и неочевидная для русского уха, но её происхождение почти наверняка связано с тюркскими языками. Основа фамилии — «багаджы» или «багаджи». В тюркских языках (особенно в азербайджанском, кумыкском, ногайском) слово «бага» означает «лягушка», а суффикс «-джы» (или «-чи») — это аффикс деятеля, профессии. Буквально «багаджы» — «лягушатник», то есть человек, который ловит лягушек, торгует ими или разводит. В некоторых диалектах это прозвище могли дать за характерную внешность (широкий рот, выпученные глаза) или за манеру поведения (прыгучесть, любовь к воде).

Модель образования фамилии — тюркская основа плюс русский патронимический суффикс «-ев». Фамилии на «-джиев» типичны для народов Кавказа и Закавказья, где суффикс «-чи» (обозначающий профессию) переоформлялся в русскую фамилию по образцу «сын того, кто занимается этим делом». Сравните: Ковалёв (от кузнец) и Багаджиев (от «лягушатник»). В русской среде такая фамилия выглядит как экзотическая, но её носители — почти наверняка потомки выходцев из Азербайджана, Дагестана или крымских татар.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: от арабского имени Багауддин («блеск веры»), которое в тюркском произношении могло сократиться до «Багай» или «Багад». Тогда Багаджиев — сын Багада, с добавлением того же «-джи» в качестве усилителя. Однако эта гипотеза слабее: имя Багауддин редко давало такие суффиксальные формы, а профессиональное прозвище «лягушатник» объясняет и суффикс, и бытовой контекст.

Социально фамилия, скорее всего, принадлежала незнатным людям — ремесленникам или мелким торговцам. «Лягушатник» в тюркской среде не был престижным занятием: лягушек ели не все, а в исламских регионах их часто считали нечистыми. Так что прозвище могли дать с оттенком насмешки или как указание на низкое ремесло. Географически фамилия встречается в Азербайджане, среди кумыков и в меньшей степени у ногайцев Ставрополья. В России носители Багаджиевых — это, как правило, потомки переселенцев с Кавказа XX века.

В написании фамилии возможны варианты: Багаджиев (с «дж» как один звук) и Багачиев (с «ч» — более русифицированная передача). Оба корня восходят к одному слову, просто разная транскрипция тюркского «c» (читается как мягкое «дж»).