Фамилия Багадюк — один из тех случаев, когда за привычным русским ухом суффиксом скрывается нерусская основа. Её стоит разбирать не с корня, а с окончания: -юк — типичный украинский и белорусский фамильный суффикс, уменьшительный или патронимический (сын такого-то). В украинской ономастике он соответствует русскому -ов/-ев или -ин. То есть Багадюк — «маленький Багада» или «сын Багады».

Сложность в основе «Багад-». В славянских языках прямого слова «багада» нет. Здесь почти наверняка искажение или адаптация тюркского имени или прозвища. Самая правдоподобная версия — от тюркского «багадур» (богатырь, храбрец). В русском языке это слово дало «богатырь», в украинском — «богатир», а в тюркских диалектах звучало как «багатур», «багадыр». При переходе в украинскую среду конечное -р могло отпасть или редуцироваться, а суффикс -юк закрепил форму «Багадюк». Таким образом, предок мог получить прозвище Багада (сокращённое от Багадур) за силу или воинскую доблесть.

Менее вероятная, но возможная версия — от имени Багада, которое могло быть вариантом крестильного имени Вагада (арабского происхождения, означающего «обещание»), но это скорее исключение, так как фамилия явно тяготеет к украинскому ареалу, где тюркские влияния исторически сильны.

Географически фамилия Багадюк встречается преимущественно на западе Украины (Волынь, Ровенская, Житомирская области) и в прилегающих районах Беларуси. В России она редка и обычно связана с миграциями XX века. Сословно носители фамилии — скорее всего, крестьяне или казаки: тюркское прозвище могло закрепиться в среде запорожских казаков, где было много выходцев из степных народов.

Если коротко: Багадюк — украинская фамилия, образованная от прозвища, восходящего к тюркскому «богатырь». Ваш предок, вероятно, был человеком сильным и заметным, раз получил такое имя.