Фамилия Багарякова — женская форма фамилии Багаряков, и её разбор стоит начать с мужского варианта, так как именно он хранит ключ к происхождению. Основа фамилии — «Багаряк» — это не имя и не слово, встречающееся в повседневном языке. Скорее всего, перед нами прозвище, образованное от тюркского корня «багар» или «бага», что в ряде тюркских наречий означает «богатство», «скот» или «уважение». Суффикс «-як» в русских фамилиях (как в «Рыбак», «Добряк») часто указывает на носителя признака или профессию. Таким образом, Багаряк — это человек, которого прозвали за богатство, владение скотом или, возможно, за сходство с багатуром (богатырём, удальцом), хотя эта версия требует оговорки: прямое заимствование «богатырь» дало бы форму «Богатырёв», а не «Багаряков».

География фамилии подсказывает, что она могла возникнуть на южных или восточных окраинах России, где было сильно татаро-башкирское влияние. Фамилии на «-яков» (вроде Багаряков, Бугаряков, Костряков) нередко встречаются в среде казачества или крестьянства Оренбуржья, Урала и Зауралья. Там прозвище Багаряк могло закрепиться за человеком, который торговал скотом или имел крупное хозяйство. Суффикс «-ов» в окончании — стандартный русский патронимический показатель, означающий «сын Багаряка» или «из рода Багаряка».

Есть и менее очевидная версия: связь с гидронимом. В Челябинской области протекает река Багаряк, а на ней стоит село Багаряк. Житель этого села мог получить прозвище Багаряк — «тот, кто с Багаряка», а затем и фамилию. Такое происхождение от названия места (топонимическое) для русских фамилий не редкость, но в случае с Багаряковым оно менее типично, так как суффикс «-як» в топонимических фамилиях обычно заменяется на «-ский» (Багарякский). Тем не менее, в просторечии могли сказать «Багаряк» вместо официального «Багарякский», и прозвище закрепилось.

Таким образом, наиболее вероятно, что первый носитель фамилии — русский или обрусевший человек, получивший прозвище Багаряк за богатство, скотоводство или по месту жительства. Фамилия редкая, и её носители, скорее всего, сосредоточены на Урале и в Зауралье.