Фамилия Багаряцкий — редкий случай, когда географическое название почти наверняка перевесило личное прозвище. Её основа — топоним Багаряк, а точнее — река Багаряк в Свердловской области и село Багаряк (ныне в Челябинской области). Жителей этих мест называли багаряками, а выходца, переселившегося в другой уезд, — Багаряцким. Суффикс -цк- в таких фамилиях указывает на дворянское или духовное происхождение носителя, но в случае с Багаряцким это скорее следование модели образования фамилий от названий волостей и сёл: переселенца записывали «из Багаряка» — отсюда Багаряцкий.

Само слово Багаряк тюркского происхождения. В башкирском и татарском языках «багар» может означать «смотреть, глядеть», а суффикс -як придаёт значение предмета или места. Есть версия, что Багаряк переводится как «смотровая гора» или «видное место» — река течёт среди холмов, и с окрестных возвышенностей открывается обширный обзор. Менее убедительна гипотеза о связи с тюркским «багр» (печень, внутренность) — в гидронимике такие параллели встречаются редко и обычно требуют дополнительных доказательств.

Фамилия почти не встречается за пределами Урала и Зауралья. В дореволюционных метрических книгах Багаряцкие фиксируются в основном в Екатеринбургском и Шадринском уездах Пермской губернии. Сословная принадлежность — чаще крестьяне и мещане, реже священнослужители. Если ваш предок носил эту фамилию, с большой вероятностью он был выходцем из села Багаряк или его окрестностей, а сама фамилия закрепилась за ним после переезда в город или другую волость.

Однокоренных фамилий практически нет. Встречается вариант Багаряков — он образован по другой модели (с суффиксом -ов) и мог принадлежать потомку человека по прозвищу Багаряк, а не переселенцу из Багаряка. Но для Багаряцкого топонимическое происхождение — основное и наиболее логичное.