Фамилия Багбая — редкая и необычная для русского уха. Её происхождение почти наверняка не славянское, а тюркское или кавказское. В русском языке она застыла в форме, нехарактерной для исконных фамилий: окончание -ая типично для прилагательных (например, Толстая, Донская), но здесь оно оказалось на конце основы, что выдает заимствование.

Скорее всего, в основе лежит тюркское имя или прозвище. Корень «баг» (bag) в тюркских языках означает «сад», «связь», «узел», а также встречается в личных именах как часть сложных слов. «Бай» (bay) — «господин», «богатый», «знатный». Таким образом, Багбая может восходить к имени Багбай (или Баг-Бай) — «господин сада», «богатый садом», либо к прозвищу человека, связанного с садоводством или владевшего землей. Есть и другая версия: в некоторых тюркских языках «баг» означает «смотреть», «глядеть», и тогда прозвище могло относиться к зоркому, наблюдательному человеку.

Фамилия могла появиться у народов, где отчество или родовое имя образовывалось прибавлением русского окончания -а к исходной форме. Встречается она в основном на Кавказе и в Закавказье — среди тюркоязычных групп (азербайджанцы, кумыки, ногайцы) или у абхазо-адыгских народов, где тюркские имена не редкость. В русских документах XIX — начала XX века такую фамилию могли записать у выходца из этих регионов, принявшего православие или просто получившего паспорт с русифицированным окончанием.

В отличие от массовых русских фамилий на -ов/-ин, Багбая сохранила почти нетронутую иноязычную основу. Это редкий случай, когда фамилия не переосмысливалась через суффиксы, а осталась близкой к исходному звучанию. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в районах, где пересекались тюркские и кавказские языки — например, в Дагестане или Азербайджане.