Фамилия Багрейчук — яркий пример украинской модели фамилий на -чук, которая указывает на происхождение от предка по имени или прозвищу. Суффикс -чук (наряду с -ук, -юк) характерен для западноукраинских земель, особенно для Волыни, Подолья и Галичины. Он отвечает на вопрос «чей?» и означает «сын» или «потомок»: Багрейчук — «сын Багрея» или «потомок Багрея».

Основа фамилии — Багрей. Это древнее нецерковное имя или прозвище, которое образовано от слова «багрий» (красный, багровый) или от глагола «багрити» (красить в красный цвет, пачкать). В украинском языке «багрець» — это пурпур, багрянец, дорогая красная ткань. Скорее всего, прозвище Багрей давали человеку с ярким румянцем, рыжими волосами или любящему носить красную одежду. Реже — гончару, который работал с красной глиной, или красильщику тканей.

Интересно, что в украинской ономастике существует параллельная фамилия Багрий, а Багрей — её вариант с чередованием корня. Фамилии на -ей в украинском языке нередко возникали из усечённых форм имён (например, Іван → Іваней) или из прозвищ, оканчивающихся на -ій. Поэтому Багрей могло быть и формой от имени Баграт (греческого происхождения, означающего «драгоценный»), но это менее вероятно для украинской среды.

География фамилии Багрейчук сегодня — преимущественно западные области Украины: Ровенская, Львовская, Тернопольская. В России фамилия редка и встречается в основном среди потомков переселенцев с Украины. Социальный контекст: носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или казаками — в реестрах Войска Запорожского XVII века встречаются Багреи, но документальных подтверждений массового дворянства у этой фамилии нет.

В отличие от более частых фамилий вроде Багрийчук, Багрейчук сохранил старую основу с гласной -е- в корне, что делает его более архаичным вариантом. Если ваш предок носил такую фамилию, он с большой вероятностью происходил с украинского Правобережья и получил прозвище за внешность или ремесло, связанное с красным цветом.