Фамилия Багрийчук звучит как типичная западноукраинская или белорусская фамилия — на это указывает суффикс -чук, который в тех краях часто означал «сын» или «потомок» (как русское -ович). То есть Багрийчук — это буквально «сын Багрия», а сам Багрий — прозвище, от которого и пошла фамилия.

Само прозвище Багрий скорее всего связано с цветом. Основа — прилагательное «багровый», «багряный». В старину так могли назвать человека с красным, багровым лицом — например, от природы румяного, обветренного или склонного к полноте и приливу крови. Это самая прямая и правдоподобная версия: прозвища по внешности давали часто и охотно.

Встречается и другая, более спорная гипотеза — что Багрий восходит не к цвету, а к слову «багор». Тогда прозвище могло бы характеризовать человека цепкого, «загребистого», который тащит в дом всё, что плохо лежит. Но эта версия слабее: фонетически «багор» и «багрий» расходятся, да и смысловые параллели в народных прозвищах встречаются реже, чем цветовые.

В любом случае, прозвище закрепилось как семейное имя, а суффикс -чук привязал его к конкретной местности — западным землям Украины и югу Белоруссии. Если ваши предки носили фамилию Багрийчук, скорее всего, они жили в этих регионах, и первым носителем был человек по прозвищу Багрий — краснолицый или, реже, хваткий хозяин.