Фамилия Баьиков — редкий случай, когда написание прямо указывает на диалектное произношение предков. В ней пропущена буква «л»: исходная форма — Бальков. Это не ошибка переписчика, а отражение севернорусского или сибирского говора, где звук «л» в некоторых позициях выпадал или переходил в неслоговой «у» (так же как появились фамилии Басков из Бальсков или Бакин из Балькин).

Основа фамилии — прозвище или нецерковное имя Балько. Оно образовано от древнерусского слова «балька» или «баля» — так называли овцу, ягнёнка, а в переносном смысле — смирного, мягкого человека. В говорах слово могло означать и «болтун», «пустомеля» (от глагола «балять» — болтать). Таким образом, первый носитель прозвища Балько либо имел кроткий нрав, либо, наоборот, любил поговорить.

Суффикс -ов типичен для русских фамилий, указывает на принадлежность: «сын Балька». Фамилия Бальков (а значит, и Баьиков) встречается в Вологодской, Архангельской областях, в Сибири — как раз в зоне распространения «окающих» говоров с выпадением «л». Встречается также вариант Бальков с твёрдым «л», который мог дать начало Баьикову при утрате этого звука.

Однокоренные фамилии — Бальков, Баляев, Балягин, Балясников — все они восходят к той же основе «баль» с разными суффиксами. Редкость написания Баьиков делает её ценной для генеалога: она чётко привязывает предков к определённой диалектной зоне. Если вы ищете свои корни, стоит проверить документы XIX века по Вологодской губернии или Зауралью — именно там фамилия могла закрепиться в таком виде.