Фамилия Бакунчевы образована от личного прозвища Бакуня. По наиболее убедительной версии, так в старину называли говоруна, краснобая или ловкача — человека бойкого на язык. Эта версия опирается на живые диалектные значения слова «бакуня» в русских говорах, где оно означает «говорун» или «болтун». Таким образом, прозвище было яркой характеристикой человека, а его потомки со временем закрепили эту черту в родовом имени.

Менее правдоподобна гипотеза, связывающая прозвище с сокращённой формой имени Абакум (церковное Аввакум, от древнееврейского «обнимающий»). В пользу этой версии говорит традиция сокращать длинные имена (Абакум → Бакуня), но она уступает первой по смысловой прозрачности: прямое значение «говорун» в качестве прозвища куда естественнее, чем отвлечённая отсылка к имени.

Фамилия образована по стандартной патронимической модели: к основе Бакун- добавился суффикс -чев, указывающий на принадлежность («чей?» — Бакунчев, то есть сын или потомок Бакуни). Такой тип фамилий закрепился в среде служилых людей и крестьянства к XVII–XVIII векам.

В исторических документах встречаются однофамильцы с той же основой: в «Ономастиконе» С. Б. Веселовского упомянуты Бакуня Голощапов, крестьянин (1579 г., Шуя), а также Иван и Михаил Ивановичи Бакунины (1568 г., Ярославль). Эти записи показывают, что прозвище Бакуня бытовало в центральных и северных русских землях уже в XVI веке.

Суффикс -чев у фамилии Бакунчевы — не самый частый для русского патронимикона (обычнее -ов/-ев или -ин). Он встречается в основном в фамилиях, образованных от основ на мягкий согласный или шипящий (ср. Ключев, Пугачёв). Это делает фамилию Бакунчевы заметной на фоне более массовых Бакуниных или Бакуновых, указывая на конкретный вариант произношения прозвища в местности, где она возникла.

Точное место и время появления фамилии не установлены, но её структура и исторические параллели позволяют отнести её к числу старых русских фамилий, сформировавшихся не позднее XVII века.