Фамилия Балиленис — редкий для России случай, когда перед нами, скорее всего, не исконно русская фамилия, а литовская, пришедшая с территории исторической Литвы. Её выдают суффикс и окончание: модель на -ис (-is) в литовском языке — это типичный способ оформления фамилий мужского рода, аналог русского -ов. В Литве фамилии на -ис, -ас, -ус указывают на происхождение от имени или прозвища отца.

Основа Балилен- восходит к литовскому имени или прозвищу. Самый прямой путь — к литовскому слову baltas, что значит «белый». В таком случае Балиленис — это патроним (отчество) от прозвища Балилас (Balilas), то есть «белый», «белокурый», «светлый». Уменьшительный суффикс -ил- (-il-) в литовской антропонимии был продуктивен: он образовывал ласкательные или уменьшительные формы имени. Так, Balys (Балис) — распространённое сокращение от имени Балтрамеюс (Варфоломей) или от того же baltas, а Балилас — уже производное от него. Таким образом, Балиленис буквально означает «сын Балиласа» или «потомок Беленького».

Вторая версия, менее вероятная, но не исключённая, — связь с фамилией Балинский или Балинскас. В польском языке существует прилагательное balinowy (от bale — «брёвна»), но для литовского контекста это натяжка. Географически фамилия Балиленис почти не встречается в современных российских базах данных, но может быть зафиксирована в Литве и среди литовской диаспоры. В XIX веке в Ковенской и Виленской губерниях литовские крестьяне и мелкая шляхта часто носили подобные фамилии, которые при переходе в православие или при записи в метрики иногда русифицировались, но Балиленис сохранил исходную форму.

Важная деталь: ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог — Бали́ленис, что характерно для литовского произношения. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни на территории современной Литвы или приграничных районов Беларуси, где до середины XX века жило много литовцев. Социально это могли быть как крестьяне-земледельцы, так и ремесленники, но точных сведений о сословной принадлежности без генеалогического поиска нет.