Фамилия Баоышев — один из тех нечастых случаев, когда написание вводит в заблуждение. В ней нет типичного для русских фамилий корня, который сразу читается как прозвище или профессия. Первое, что бросается в глаза, — сочетание «Бао». Оно не имеет славянских параллелей и скорее всего является искажением или диалектным произношением другого, более привычного слова.

Наиболее вероятная версия — фамилия образована от прозвища Бауш, Бауша или Бавыш. В русских говорах, особенно северных и уральских, слово «баушка» (или «бауш») означало «бабушка», «старуха», а также «повитуха». Прозвище Бауш могли дать либо пожилой женщине, занимавшейся родовспоможением, либо мужчине, который по какой-то причине получил такое «бабье» прозвище — например, за заботливый, хлопотливый нрав. Со временем прозвище Бауш превратилось в Баушев, а затем, из-за особенностей произношения или ошибки писаря, могло записаться как Баоышев. Буква «ы» после «о» — явный признак того, что фамилию записывали на слух, не сверяясь с правилами.

Менее убедительная, но возможная версия — связь со словом «баять» (говорить, рассказывать). В этом случае прозвище Бая (или Баюн) давали красноречивому сказочнику, балагуру. Однако переход «бая» → «бао» нехарактерен для русского языка и встречается редко.

С точки зрения словообразования, фамилия Баоышев стоит несколько особняком. Суффикс «-ев» указывает на принадлежность («чей сын?» — Баоышев), но сама основа нестандартна. В документах XVIII–XIX веков, когда крестьянам массово давали фамилии, писарь мог записать прозвище так, как услышал от самого носителя: «Бауш» или «Бавыш», а на бумаге вышло «Баоыш». Отсюда и редкая буквенная конструкция.

Таким образом, Баоышевы, скорее всего, ведут род от человека по прозвищу Бауш — либо от старой знахарки и повитухи, либо от мужчины с «бабьей» заботой о домочадцах. Фамилия — почти наверняка крестьянская, из северных или центральных губерний России, где диалектные слова удерживались дольше.