Фамилия Барменков образована по самой распространённой в русской ономастике модели: от основы (прозвища или имени) с помощью суффикса принадлежности -ов-, к которому добавился типичный фамильный суффикс -ин (в соединении дают -енк-ов, где -енк- — вариант суффикса -ин после шипящих или мягких согласных). Проще говоря, сначала появилось прозвище Барменок — так могли называть сына или младшего родственника человека по прозвищу Барма. А уже от этого «полуотчества» Барменок в документах закрепилась фамилия Барменков («чей?» — сын Барменка).

Ключевой вопрос — что означала основа Барма. Здесь возможны две версии, и обе имеют под собой реальную почву. Первая: прозвище Барма могло относиться к внешности или манере поведения. В русских говорах «барма» — это ворчун, брюзга, человек, который постоянно «бармит» (бормочет, ворчит). Такие прозвища по характеру давали охотно, и они легко закреплялись за родом. Вторая версия связывает Барму с ремеслом: в старину бармой называли широкий воротник с драгоценными камнями, часть княжеского облачения. Соответственно, Бармой могли прозвать мастера, который такие воротники шил или расшивал. Эта версия менее вероятна для крестьянской среды, но возможна, если предки жили в ремесленных слободах или при княжеских дворах.

В пользу первой, «характерологической», версии говорит и география фамилии. Фамилия Барменков встречается в основном в центральных и северных областях России (Вологодская, Костромская, Кировская области), где слово «барма» в значении «ворчун» было в ходу. Если бы корень был связан исключительно с княжеским облачением, фамилия чаще попадалась бы в старых боярских списках, но её там нет — она явно крестьянская или мещанская.

По словообразовательной модели фамилия Барменков — близкий «родственник» фамилиям Бармин, Бармаков, Бармашов. Разница только в суффиксе: Бармин — прямой патроним от Бармы, а Барменков — уже от уменьшительной формы Барменок. Такое варьирование типично для русских фамилий, возникших в разных диалектных зонах независимо друг от друга.

Что касается сословной принадлежности: судя по распространённости и отсутствию фамилии в дворянских родословных книгах, предки носителей фамилии Барменков были, скорее всего, государственными или помещичьими крестьянами, реже — посадскими людьми. Точных дат и имён первых носителей в открытых источниках нет, но сама модель фамилии указывает на то, что она оформилась не позднее XVII — начала XVIII века, когда массово закреплялись отчества с суффиксом -ов/-ев.