Фамилия Барнягина — женская форма фамилии Барнягин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или мирского имени Барняга. Словообразовательная модель проста: основа на -а плюс суффикс -гин, который в русских фамилиях встречается реже, чем стандартный -ин, но указывает на ту же принадлежность: «чей?» — «сын или потомок Барняги».

Корень «барн-» заставляет сразу искать связи со словом «барн» — так в Средневековье на Руси называли княжеский или боярский двор, а также место сбора налогов и пошлин. Отсюда «барник» — сборщик податей или служитель при барне. Прозвище Барняга мог получить человек, работавший на таком дворе: приказчик, ключник или тот, кто ведал хозяйскими запасами. Версия логичная и подкреплена историческим контекстом: фамилии на -яга (ср. Бурняга, Коряга) часто давали по роду занятий или по месту жительства.

Менее вероятно, но не исключено, что основа восходит к диалектному глаголу «барнить» — в некоторых говорах это означало «браниться, шуметь». Тогда Барняга — прозвище сварливого или крикливого человека. Однако первая версия, с привязкой к административно-фискальной службе, кажется правдоподобнее: такие фамилии чаще закреплялись за потомками людей, чья работа была заметна в общине.

Фамилия Барнягин — редкая. В современных базах она встречается точечно, преимущественно в центральных областях России и в Поволжье. Это говорит о том, что род, скорее всего, не был многочисленным и не разветвился на крупные ветви. Сословно носители фамилии могли быть как крестьянами (если прозвище закрепилось за дворовым человеком), так и посадскими — например, мелкими служащими при княжеском хозяйстве.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Барнов, Барников, Барнин — показывает, что все они образованы от одного корня, но разными суффиксами. Барнягин стоит особняком: суффикс -яг- придаёт прозвищный, почти уменьшительный оттенок, что типично для древнерусских неканонических имён. Если ваши предки носили эту фамилию в XIX веке, скорее всего, они происходили из среды, где прозвище Барняга передавалось по наследству как устоявшееся родовое имя, а не как случайное уличное прозвище.