Фамилия Басаегова — женская форма от Басаегов, и в ней сразу заметна редкая словообразовательная модель. Суффикс -егов нехарактерен для русских фамилий, где обычны -ов/-ев или -ин. Это почти наверняка указывает на тюркское или кавказское происхождение. В осетинском, чеченском и других языках Северного Кавказа суффикс -ег (или -æг) часто образует прилагательные и существительные, а русская фамилия просто «обрусела» через добавление окончания -ов. То есть Басаегов — это «сын Басаега», где Басаег — личное или родовое прозвище.

Основа «Бас-» может восходить к тюркскому «бас» — «голова, глава», или к «басма» — «печать, знак». В осетинском языке есть слово «бас» — «подать, налог», и Басаег мог означать «сборщика податей» или «человека, обязанного платить дань». Но более вероятно, что это прозвище по внешности или характеру: в кавказских языках «бас» иногда связывают с «большой, грузный» или «сердитый, суровый». Фамилия могла закрепиться за одним родом, который выделялся среди соседей таким прозвищем.

Географически фамилия Басаегова тяготеет к Северному Кавказу — особенно к Ингушетии, Чечне и Северной Осетии. В российских переписях XIX века такие фамилии встречались среди горских народов, которые при фиксации фамилий получали русские окончания. Встречается вариант Басаев (без -г), но Басаегов — более архаичная форма, сохранившая местный суффикс. Сравните с фамилиями Дудаегов, Хасаегов — они построены по тому же принципу.

Социальный статус первых носителей был разным: от рядовых общинников до старшин. Но точных данных о сословной принадлежности именно Басаеговых нет — фамилия не дворянская и не купеческая, а народная, что типично для горских фамилий. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были свободными общинниками, возможно, скотоводами или воинами, а прозвище закрепилось за родом ещё в XVIII–XIX веках.