Фамилия Басаева образована от восточного мужского имени Басай, что в переводе с арабского языка на русский язык означает «крепость». Вероятно, нарекая ребенка таким именем, родители желали, чтобы их сын рос сильным, смелым, здоровым, мужественным мальчиком. Согласно другой версии, в основе фамилии лежит татарское нарицательное «баса», что означает «посконь». Посконь — это мужское растение конопли, которое отличается от женского формой соцветий (метёлка), более высоким ростом и тонким стеблем, менее густой листвой и более ранними (на 40—50 дней) сроками созревания. В русском крестьянском хозяйстве посконь ценилась невысоко, так как холст из неё получается грубый и жёсткий. Основное достоинство посконного волокна — повышенная прочность. В старину из него вили тонкие морские канаты — линии и тросы. По свидетельству американского писателя Германа Мелвилла, автора романа «Моби Дик», гарпунный линь из посконной пеньки толщиной 17 мм выдерживал вес до 2 800 кг и использовался для охоты на китов. Таким образом, можно предположить, что прозвище Басай относится к так называемым «профессиональным» именованиям, указывающим на род деятельности человека. Так, предок обладателя фамилии Басаева мог заниматься изготовлением посконных волокон. К известным представителям данной фамилии относится Шамиль Салманович Басаев - активный участник сепаратистского движения в Чечне, один из руководителей самопровозглашённой Чеченской Республики Ичкерия (ЧРИ) в 1995—2006 гг. Процесс формирования фамилий был достаточно длительным, поэтому окончательно говорить о точном месте и времени возникновения рода Басаевых можно лишь на основании генеалогических исследований.