Фамилия Басавро — редкий пример, когда прозвище или мирское имя застыло в форме, напоминающей украинские или белорусские фамилии на -о. В отличие от привычных русских моделей на -ов/-ев или -ин, окончание -о здесь указывает не на принадлежность («чей?»), а на самого носителя: Басавро — это и есть человек, которого в основе звали Басаврой. Если бы фамилия оформлялась по стандартной восточнославянской схеме, мы бы получили Басаврин или Басавров. Но этого не случилось, и именно эта особенность делает фамилию ценной для ономастов.

В основе лежит прозвище Басавра. Словарь Даля даёт глагол «басовать» — «яриться, бодриться; прыгать, проявлять рьяность». Так могли назвать человека бойкого, сильного и проворного. Но есть и более тёмная версия. Исследователи связывают Басавру с персонажем народных сказок — Басаврюком, который олицетворяет нечистую силу. Одни возводят это имя к слову «бес», другие — к венгерским boszorkány и boszorka (ведьма), которые, в свою очередь, могли быть заимствованы из языка куманов-половцев, переселившихся в Венгрию из Северного Причерноморья в XIII веке.

В народной среде такие имена-обереги давали детям намеренно: считалось, что злое имя отпугнёт злых духов и защитит ребёнка. Парадоксальным образом, называя сына Басаврой, родители надеялись вырастить его добрым и красивым — как бы «от обратного». Со временем прозвище закрепилось как наследственное, и форма Басавро стала означать «сын Басавры», минуя обычные патронимические суффиксы.