Фамилия Басавров — одна из тех, где значение лежит на поверхности, но быстро упирается в тёмное пятно. Формально это типичная патронимическая фамилия на -ов, образованная от прозвища или имени Басавр. Вопрос в том, что такое «басавр» и откуда оно взялось.

Самая прямая и правдоподобная версия отсылает к тюркским языкам, где основа «бас» означает «голова», «глава», «начальник». В сочетании с суффиксом -авр или -ар, которое могло означать «мужчина», «человек», слово «басавр» могло пониматься как «главный мужчина», «предводитель». Подобные прозвища давали людям с властным характером или занимавшим руководящую должность, например, старосте или сотнику. В пользу этой версии говорит активное бытование фамилии среди донских и кубанских казаков — в среде, где тюркские заимствования и прозвища были обычным делом.

Менее вероятна, но не исключена связь с русским диалектным словом «баса» — красота, украшение. В этом случае «басавр» могло быть шутливым прозвищем щёголя или красавца. Однако слово «басавр» в таком значении нигде не зафиксировано, а суффикс -авр для русских прозвищ нетипичен — это скорее признак заимствованной основы.

Суффикс -ов указывает на принадлежность: Басавров — сын Басавра. Фамилия закрепилась в южнорусских регионах, особенно в Ростовской области и на Кубани. Встречается она нечасто, что говорит о локальном происхождении от одного или нескольких прозвищных гнёзд. Сравните с однокоренными, но более редкими фамилиями Басаврин, Басавря — все они, скорее всего, восходят к одному корню, но с разными суффиксами.

Итак, предки носителя фамилии Басавров, вероятнее всего, были казаками или крестьянами юга России, а их прозвище означало «главный», «начальник» или, с меньшей вероятностью, «красавец». Точную дату возникновения фамилии установить невозможно, но по модели образования она относится к поздним — XVI–XVII векам, когда фамилии на -ов массово оформлялись у служилых и тяглых людей.