Фамилия Башей — одна из тех, где ключ к разгадке лежит не в корне, а в суффиксе и ударении. В русской ономастике модель на -ей (с ударением на последний слог) встречается редко и почти всегда указывает на невеликорусское происхождение. Чаще всего такие фамилии — украинские или белорусские, где суффикс -ей мог выполнять ту же роль, что и русский -ев: указывать на принадлежность («чей?» — Башей, то есть сын или человек Баша).

Сама основа «Баш» имеет два основных источника. Первый и самый распространённый — от тюркского слова «баш», что значит «голова» или «главный». В тюркских языках это слово входило в состав прозвищ (Баш-бек, Баш-киши) и могло означать «вожак», «старшина», либо просто человека с крупной или заметной головой. Второй вариант — от крестильного имени Абакум (через форму Бакум, Баш) или от уменьшительных форм имён Василий (Вася → Ваша → Баша) и Севастьян (Сева → Севаш → Баш). Эта версия слабее, так как требует фонетических натяжек, но полностью исключать её нельзя: в южнорусских говорах «баша» могло быть ласковым обращением к отцу или старшему.

Географически фамилия Башей тяготеет к западнорусским областям — Брянщине, Смоленщине, а также к восточной Беларуси. Встречается она и у запорожских казаков, что подтверждает украинский след. В отличие от фамилий на -ев или -ов, которые массово давались крестьянам после отмены крепостного права, Башей — фамилия более старая и локальная. Её носители, скорее всего, были потомками либо казаков, либо служилых людей «по прибору», получивших прозвище за характер или должность.

Спорный момент — ударение. Если фамилия произносится как Ба́шей (с ударением на первый слог), это может быть патронимом от имени Баша с русским суффиксом -ев, но с редуцированным произношением. Однако большинство носителей настаивают на ударении на последний слог — Баше́й, что однозначно указывает на украинскую или белорусскую словообразовательную модель. В любом случае, перед нами фамилия, которая не вписывается в стандартный великорусский шаблон, а значит, её история связана с миграциями, пограничьем и смешением культур.