Фамилия Башунова — женская форма фамилии Башунов, и её происхождение нужно искать в мужском прозвище или имени. Скорее всего, в основе лежит слово «башун» — так в некоторых русских говорах, особенно на юге и юго-востоке, называли упрямого, своенравного или непослушного человека. Сравните с диалектным глаголом «башунить» — шалить, проказничать, делать что-то наперекор. Прозвище Башун мог получить озорной ребёнок или взрослый с крутым нравом.

Есть и вторая, менее вероятная версия: «башун» как вариант тюркского слова «баш» — голова, глава, старший. В таком случае прозвище могло означать «главный», «вожак», но для русской фамильной модели это редкий случай — обычно тюркские основы входят в фамилии через прозвища, а не напрямую. Первая версия, с диалектным русским корнем, выглядит убедительнее и проще.

Суффикс -ов указывает на типичную модель образования: сначала появилось прозвище Башун, затем отчество «Башунов сын», которое и закрепилось как фамилия. Форма Башунова — притяжательное прилагательное, отвечающее на вопрос «чья?» — то есть жена или дочь человека по фамилии Башунов.

Фамилия не относится к числу распространённых, но встречается в центральных и южных областях России, особенно в Воронежской, Ростовской и Волгоградской областях. Встречаются варианты написания с одной «н» — Башунова, что для этой фамилии не ошибка, а исторически сложившаяся норма. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или мещанами, а родоначальник получил прозвище за характер — не злой, но с норовом.