Фамилия Бастами — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В русской ономастике она почти не встречается, что сразу наводит на мысль о нерусских корнях. Скорее всего, перед нами фамилия, пришедшая с Кавказа или из Средней Азии, где она имеет прозрачную внутреннюю форму.

Наиболее вероятная версия связывает фамилию с тюркским или иранским миром. Основа «баста» в ряде тюркских языков означает «достаточно», «хватит», «конец». В персидском языке слово «баст» (بست) переводится как «закрытый», «запертый», а также «связанный». Фамилия могла образоваться от прозвища, данного человеку, который умел вовремя остановиться, или, напротив, был упрямым, «закрытым» для уговоров. Суффикс «-ми» в этом случае указывает на принадлежность или происхождение: «из рода Баста», «сын Басты». Это типичная модель для армянских, азербайджанских и некоторых дагестанских фамилий, где фамилии часто заканчиваются на -и, -ян, -ов.

Менее убедительна версия о связи с итальянским словом «bastami» (множественное число от «bastardo» — незаконнорожденный). В России эта фамилия не имеет исторических корней в итальянской диаспоре, и такое объяснение выглядит искусственным. Также маловероятно, что Бастами — это искажённая русская фамилия, например, от слова «баста» (междометие «хватит»), так как суффикс -ми нехарактерен для русской фамильной модели.

Географически фамилия Бастами встречается в Закавказье, особенно среди армян и азербайджанцев, а также в среде народов Дагестана. В России она остаётся единичной и часто принадлежит потомкам выходцев из этих регионов. Социальный статус предков, носивших такую фамилию, мог быть разным — от ремесленников до крестьян, но точных исторических записей о сословной принадлежности по этой фамилии нет. Единственное, что можно сказать с уверенностью: фамилия не дворянская и не относится к старым русским боярским родам.