Фамилия Батинькин образована от прозвища или имени Батинька. Основа здесь — корень «батя», «батька», то есть отец. Уменьшительно-ласкательный суффикс -иньк- в русских фамилиях встречается нечасто, и это сразу выделяет Батинькина среди более типичных Батиных, Батьковых или Батеневых. Форма Батинька — это ласковое обращение к отцу или, что вероятнее, к старшему уважаемому мужчине, которого в семье или в общине называли «батенькой». В южнорусских и украинских говорах «батько» — отец, а «батинька» могло быть его уменьшительной формой, почти как «папочка».

По модели образования фамилия относится к группе на -ин: от слова, оканчивающегося на -а/-я, прибавлялся суффикс -ин, означающий «чей?», «сын кого?». Батинькин буквально — «сын Батиньки». Такие фамилии типичны для северной и центральной России, где преобладал притяжательный суффикс -ин, в отличие от южных областей, где чаще использовали -ов/-ев. Однако основа «батя» общеславянская, поэтому Батинькины могли появиться в разных регионах, но вероятнее всего — в среде крестьян или мещан, где прозвища давались по родственной роли или характеру.

В письменных источниках фамилия не фиксируется как широко распространённая. Скорее всего, она редкая, локальная, могла возникнуть в одной-двух деревнях. Сравните с однокоренными Батины (от Батя) — их больше, и они встречаются в документах XVII века. Батинькин же остался в тени, возможно, из-за того, что форма Батинька была диалектной или семейной, не вышла за пределы узкого круга. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был крестьянином или ремесленником, а прозвище получил от отца или от местного старосты, которого в шутку или с уважением называли «батинькой».