Фамилия Баворовский образована по польской или западнорусской модели на -ский от географического названия. В её основе лежит топоним Баворов, Баворово или Баворова. Такие названия нередки в Польше, на Западной Украине и в Беларуси. Например, в Тернопольской области Украины есть село Баворов (ныне Баворив). Вероятнее всего, предок носителя фамилии был выходцем из одного из таких мест, и фамилия закрепилась за ним как указание на родовое поместье или место жительства — характерный признак шляхетского или землевладельческого происхождения.

Само название Баворов, в свою очередь, восходит к личному имени Бавор. Это древнее славянское имя, которое, по версии лингвистов, связано с глаголом «бавить» (медлить, задерживать) или с корнем «бав-» в значении «говорить, болтать». В польской ономастике имя Бавор фиксируется с XIII века, а в чешской — ещё раньше. Встречается оно и в древнерусских памятниках, хотя и редко. Таким образом, фамилия Баворовский — это двухступенчатое образование: сначала от имени Бавор возникло название поселения Баворов, а затем от него — фамилия с типичным суффиксом принадлежности.

Суффикс -ский в этой фамилии не просто указывает на связь с местом, но и в польско-литовской традиции часто маркировал дворянский статус. Однако со временем такие фамилии могли получить и крестьяне, переселившиеся из одного села в другое, или мещане. Поэтому однозначно утверждать, что все Баворовские — потомки шляхты, нельзя: фамилия могла демократизироваться.

Встречаются варианты написания: Баворовский и реже Баворовски (в польском написании Baworowski). Известный исторический род Баворовских действительно существовал в Галиции, входил в состав польской шляхты, владел землями и даже имел собственный герб (Прус III). Но эта ветвь — лишь часть носителей фамилии, многие современные Баворовские могут не иметь к ней отношения.

Итог простой: фамилия Баворовский — типичная «топонимическая» фамилия с польским оттенком, указывающая на происхождение из места, названного по имени Бавор. Если ваши предки были из Западной Украины или Польши, эта версия почти наверняка верна.