Фамилия Байат (в латинском написании Bayat) — редкий для русской среды пример, где прозвищная основа заимствована из тюркских языков. Её значение напрямую зависит от того, в какой традиции искать корень. Первая и наиболее вероятная версия отсылает к турецкому и крымскотатарскому слову bayat — «несвежий», «черствый». Вряд ли прозвище давали за испорченную еду: скорее, так могли назвать человека с сухим, жестким характером, сдержанного в чувствах, «черствого» в переносном смысле. В тюркской среде такие бытовые прозвища по внутренним качествам были обычным делом.

Вторая версия ведет к азербайджанскому фольклору. Баят — это жанр коротких лирических четверостиший, где юмор и грусть идут рука об руку. Если прозвище пошло от этого слова, то предок мог быть народным певцом, сказителем или поэтом, исполнителем баятов. Версия поэтичная, но менее убедительная: переход от названия жанра к личному прозвищу встречается реже, чем перенос бытового прилагательного.

С точки зрения словообразования, фамилия Байат — это чистая основа, без русского суффикса (-ов, -ин, -ский). Такие «голые» фамилии в русском контексте — редкость. Чаще всего они указывают на позднюю фиксацию или на то, что носитель был выходцем из тюркской среды, где фамилии не русифицировали. Встречается Байат в документах у народов Северного Кавказа, у крымских татар и в среде азербайджанцев. В русских переписях XVIII–XIX веков практически не фиксируется — значит, в великорусские губернии фамилия проникла поздно и единично.

Однокоренных русских фамилий у Байат нет. Ближайшие параллели — Баятов, Баятский, но они уже несут русские форманты. Если встретили фамилию Байат, скорее всего, перед вами потомок выходца из Турции, Крыма или Азербайджана, причем фамилию не переделывали на русский лад, а оставили в исходном звучании.