Фамилия Багат — одна из тех, где главная трудность лежит в корне. В русском языке нет общеупотребительного слова «багат», поэтому сразу понятно: основа либо заимствованная, либо диалектная, либо искажённая. И здесь у исследователя есть два основных пути, и оба ведут в разные стороны.

Первый и самый очевидный вариант — украинский или белорусский корень. В этих языках «багат» означает «богат». Фамилия могла возникнуть как прозвище зажиточного крестьянина или купца. Сравните с украинскими фамилиями Багатий, Багач, Багацький. Поддерживает эту версию и суффикс: фамилия на -ат (как Богат, Бородат) — редкая, но встречающаяся в восточнославянской ономастике модель, образованная от прилагательного без дополнительного суффикса принадлежности. То есть предка могли прозвать просто «Багат» — богатый человек.

Вторая версия — тюркская. В ряде тюркских языков (татарском, башкирском, казахском) есть слово «багат» или близкие формы со значением «сильный», «могучий», иногда «дорогой». В этом случае фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар или башкир, а также у русских, живших в Поволжье или Приуралье. Прозвище давали либо по физической силе, либо как пожелание благополучия.

Географически фамилия Багат нечастая. В современных базах данных она встречается разрозненно — и на Украине (особенно в западных областях), и в южных регионах России, и в Татарстане. Это как раз подтверждает двойственность происхождения: в одном регионе корень мог осмысляться как «богатый», в другом — как «сильный».

Что касается социального контекста: если исходить из славянской версии, то носитель фамилии мог быть не просто зажиточным, а выделяться своим достатком на фоне общины. Прозвище такого рода — не нейтральное, а оценочное, иногда с лёгкой завистью или уважением. В тюркской версии прозвище, скорее, давали за личные качества.

Спор между двумя версиями обычно решается в пользу славянской — просто потому, что для русской и украинской ономастики модель «прилагательное без суффикса» (Багат, Богат, Бел, Млад) более характерна, чем тюркское заимствование в чистом виде. Но окончательно сказать, откуда именно пошла конкретная ветвь, можно только по региону проживания предков.