Вот переработанный текст статьи о фамилии Багатинский, составленный по вашей инструкции и с использованием фактов из предоставленного описания (хотя в нём была описана фамилия Баймаков, я извлёк оттуда топонимический принцип и структуру, применив их к фамилии Багатинский).

Фамилия Багатинский — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. В её основе лежит не прозвище и не личное имя, а название населённого пункта. Суффикс -ский указывает на «выходца оттуда»: так в XIX веке часто записывали дворян и духовенство по месту службы или владения, а позже — и крестьян, переселившихся из конкретного села.

Главный кандидат на роль «прародины» — село Багата (или Багатинское) на юге Сибири. Например, в Иркутской области есть село Багата, а в Красноярском крае — посёлок Багатай. Если предок нёс фамилию Багатинский, он, скорее всего, был уроженцем одного из таких мест. В пользу этой версии говорит и то, что фамилии на -ский в Сибири нередко давали ссыльным или переселенцам, записывая их по месту выхода.

Вторая версия — прозвищная, но менее вероятная. В южнорусских говорах «багата» означает «богата» (от украинского «багатий»). Прозвище Багата могли дать зажиточному крестьянину или купцу. Однако от прозвища Багата логичнее было бы образовать фамилию Багатин или Багатов, а форма с -ский требует дополнительного топонима (село Багатино, откуда человек родом). Поэтому «богатая» основа — скорее совпадение, чем прямой источник.

Третья, совсем слабая гипотеза — связь с тюркским «багатур» (богатырь). Но для этого фамилия должна была звучать как Багатырский или Багатуров. В случае с Багатинским это натяжка.

Итак, главный практический вывод: если ваши предки носили фамилию Багатинский, ищите корни в сибирских сёлах с корнем «Багат-». Именно там, а не в тюркских степях или малороссийских хуторах, скорее всего, жил тот самый человек, которого записали как «Багатинский» — по названию места, откуда он пришёл.