Фамилия Байбагышев — один из тех редких случаев, когда модель образования очевидна, а корень заставляет задуматься. Она явно тюркского происхождения, что сразу снимает вопрос о славянской этимологии. Основа — «Байбагыш», к которой добавлен русский патронимический суффикс -ев, адаптировавший фамилию под русскую грамматику. То есть Байбагышев — буквально «сын Байбагыша».

Сам корень «Байбагыш» составной. Первая часть — «бай» (богатый, господин, уважаемый человек) — распространённый компонент тюркских имён и прозвищ. Вторая часть — «багыш» — многозначна. В некоторых тюркских языках «багыш» означает «взгляд» или «взор», но в антропонимии чаще встречается значение «дар» или «посвящение». Таким образом, имя Байбагыш могло означать «богатый дар» или «дар господина». Впрочем, есть и более прозаичная версия: «багыш» — это название птицы (например, кобчик или вид сокола), и тогда прозвище Байбагыш получил бы человек, державший ловчих птиц или ассоциировавшийся с ними.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где исторически жили тюркские народы: Поволжье, Урал, Сибирь, Казахстан. Встречается среди башкир и татар, реже — у казахов. В русских документах фамилия закрепилась, скорее всего, в XIX веке, когда представители тюркских народов получали фамилии по отцу при переходе в оседлость или при записи в ревизские сказки.

Интересно, что фамилия Байбагышев избежала оглушения конечного согласного: если бы она оформлялась как чисто тюркская, могла бы писаться через «ш» — Байбагышев, что мы и видим. Это говорит о том, что носители фамилии довольно рано вошли в русскоязычную среду и фамилия записывалась на слух, а не по книжному образцу.

Однокоренных фамилий мало: Байбагысов, Байбаков (где «бак» — «смотри»), но они не синонимичны. Байбагышев — редкая фамилия, что делает её хорошим маркером для генеалогического поиска: если вы её носите, с высокой вероятностью ваши предки происходят из конкретного села или рода, а не из размытой массы.