Фамилия Байгошкаров — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не внешняя черта, а топоним, причём с нетипичным для русских фамилий суффиксом. Разбираем её по косточкам.

Первое, что бросается в глаза — окончание -ов. Это стандартный русский патронимический или вотчинный суффикс, указывающий на принадлежность («чей?»). Значит, перед нами фамилия, образованная от прозвища или имени предка, которое заканчивалось на твёрдый согласный. Но вот основа — Байгошкар- — явно не славянская.

Корень Бай- — тюркский, означает «богатый», «знатный», «господин». В татарских, башкирских, казахских языках это частый компонент имён и прозвищ (Байбулат, Баймурат, Байтуган). Вторая часть — -гошкар — скорее всего, искажённое тюркское кошкар или кушкар — «баран-производитель», «вожак стада». В переносном смысле — «сильный», «упрямый», «лидер». Получается прозвище «Богатый баран» или «Знатный вожак» — не обидное, а уважительное, указывающее на силу и достаток.

Но есть и вторая, более правдоподобная версия. Фамилия могла возникнуть от названия населённого пункта. В Башкортостане, в Зианчуринском районе, есть село Байгошкарово (по-башкирски Байғошҡар). Название села, в свою очередь, происходит от имени основателя — Байгошкар (Бай + ҡошҡар). То есть фамилия Байгошкаров — это по сути «выходец из села Байгошкарово». Такая модель образования (название села + суффикс -ов) была распространена среди русских и обрусевших народов Поволжья и Приуралья.

Таким образом, предки носителей этой фамилии — скорее всего, башкиры или татары из юго-восточной части Башкортостана, которые либо получили фамилию по имени родоначальника (Байгошкар), либо по месту жительства. Прозвище могло закрепиться за человеком, владевшим большим стадом или обладавшим властным характером. Встречаемость фамилии крайне низкая, за пределами Башкортостана и соседних областей она практически не фиксируется.