Фамилия Байметдиев — редкий случай, когда тюркский корень и арабское заимствование соединились в одной основе, а затем получили русский фамильный суффикс. Разбираем её по частям.

Первая часть — «Бай». В тюркских языках (татарском, башкирском, казахском) это слово означает «богатый», «господин», «хозяин». В составе личных имён оно часто указывало на знатность или достаток, но могло быть и просто пожеланием богатства новорождённому. Вторая часть — «Метди» (варианты: Митди, Митхат). Это арабское имя, восходящее к корню «хамд» — «хвала», «восхваление». Полное имя звучало бы как Байметди, то есть «богатый (или господин) по имени Метди». Сложносоставные имена с «бай» были популярны у волго-уральских татар и башкир в XIX — начале XX века.

Суффикс «-ев» — чисто русский патронимический показатель, указывающий на принадлежность: «сын Байметдия». Фамилия образована по стандартной модели: к основе имени отца (Байметдий) добавили суффикс принадлежности. То есть Байметдиев — это «Байметдиев сын», внук Байметдия.

Географически фамилия тяготеет к Башкортостану, Татарстану и Оренбургской области. Встречается она и у казахов, но там чаще пишется без конечного «-ев» — Байметди. Русское окончание закрепилось в результате делопроизводства Российской империи, когда крещёных или просто учтённых в ревизских сказках тюрков записывали «по-русски»: с отчеством и фамилией на -ов/-ев.

Интересная деталь: в некоторых говорах и документах XIX века встречается написание Баймитдиев. Это не ошибка, а отражение местного произношения имени Метди как «Митди» (с редукцией гласной). Обе формы — варианты одной фамилии, и их носители вполне могут быть родственниками, разошедшимися в написании при переписях.

Социально предки Байметдиевых, скорее всего, были крестьянами или мещанами из числа тептярей или башкир-вотчинников. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано. Имя Байметди не было распространённым, поэтому фамилия осталась относительно редкой и локальной.