Фамилия Бажив — редкая и неочевидная. Если вы её ищете, первое, что бросается в глаза, — окончание «-ив». В русской фамильной системе суффикс «-ив» встречается реже, чем привычные «-ов» или «-ин». Это может указывать на то, что фамилия образовалась не от имени или профессии, а от прозвища, которое уже имело окончание «-ив» (например, Бажив — тот, кто бажит). Но есть и другая, более вероятная версия: «-ив» — это искажённое «-ев» в диалектном произношении. В некоторых русских говорах, особенно на севере и в Сибири, «е» после шипящих переходило в «и»: Бажев могло звучать как Бажив, а потом закрепиться на письме.

Корень «баж-» отсылает к древнерусскому глаголу «бажить» — желать, хотеть, а также «баловать, потакать». В северных говорах «бажить» означало «сильно желать», «жаждать». Прозвище Баж мог получить человек, который был известен своими страстными желаниями или капризами. В ономастике известна фамилия Баженов, образованная от того же корня через притяжательную форму «Бажен» (желанный, любимый). Бажив — более редкий вариант, возможно, сокращённый или диалектный.

С географической точки зрения, фамилия Бажив встречается единично, преимущественно на Урале и в Западной Сибири. Это косвенно подтверждает версию о северном или сибирском происхождении: именно в этих регионах фиксируются фамилии на «-ив» (сравните: Плешив, Кривив). Если ваш предок носил фамилию Бажив, скорее всего, он был крестьянином или казаком из районов, где говорили на окающих говорах с твёрдым произношением.

Спорных версий здесь немного. Можно предположить тюркское происхождение от слова «баж» (налог, дань), но для русского уха такое окончание было бы неестественным, и фамилия тогда звучала бы как Бажов. Поэтому славянская этимология — основная и самая надёжная.