Фамилия Бажуткина — женская форма фамилии Бажуткин, и её происхождение напрямую связано с мужским личным именем или прозвищем Бажутка. В основе лежит суффикс -к(а), который в русской ономастике часто служил уменьшительно-ласкательным или бытовым вариантом имени. Имя Бажутка, скорее всего, образовано от канонического имени Евлогий (греч. «благословенный») или от редкого имени Вуж (возможная связь с диалектным «вуж» — уж, змея), но более правдоподобная версия — от глагола «бажать» или «бажить», что в северных и сибирских говорах означало «сильно желать, хотеть, стремиться». Соответственно, Бажутка — это «желанный», «долгожданный» ребёнок, а Бажуткин — «сын Бажутки».

Суффикс -ин указывает на принадлежность: в XV–XVII веках такие фамилии давали по отцу или деду, отвечая на вопрос «чей?». То есть Бажуткины — это потомки человека по прозвищу Бажутка. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще встречались у служилых людей и крестьян центральных регионов, -ин типичен для северных и северо-восточных земель (Архангельская, Вологодская, Вятская губернии), где широко бытовала «бающая» лексика.

Географически фамилия Бажуткин сегодня редка, но встречается в Пермском крае, Кировской области и Удмуртии — именно в тех местах, где слово «бажать» сохранялось в живой речи до XX века. Если ваш предок носил эту фамилию, он, вероятно, происходил из среды государственных или монастырских крестьян русского Севера, а его родоначальник был либо очень желанным ребёнком, либо человеком, которого прозвали за страстное желание чего-либо.

Спорных версий у фамилии немного. Иногда её связывают с тюркским корнем «баж» (родственник, свояк), но для фамилии с типично русским суффиксом -к(а) и ареалом бытования это маловероятно. Фамилия не имеет отношения к дворянству или известным историческим родам — она из народной, крестьянской среды.