Фамилия Базиевская — женская форма от Базиевский, и её происхождение стоит искать не в одном корне, а в цепочке: географическое название → прозвище или фамилия → суффикс -ск-. В отличие от большинства русских фамилий на -ский, которые образованы от названий сёл или городов (например, Троицкий — от Троицка), Базиевская не привязана к крупному топониму. Скорее всего, её основа — Базий или Базя.

Разберём возможное исходное слово. Самая прямая версия — от имени Базя, уменьшительной формы от Базислав, Базиль или даже от крестильного имени Василий (через народное произношение «Вазий»). В польской и западнорусской традиции имя Базилий (Basil) давало форму Базий, а суффикс -ев- указывает на принадлежность: Базиев — «сын Базя». Фамилия Базиевский, в свою очередь, могла означать «выходец из селения, основанного или принадлежавшего человеку по фамилии Базиев». Такие модели (личное имя + суффикс -ск-) характерны для шляхетских фамилий Речи Посполитой, где -ский служил маркером дворянского происхождения.

Есть и более прозаичный вариант: основа «баз» — от база, базок (скотный двор) или базить (громко кричать, бахвалиться). В этом случае Базий — прозвище пастуха, владельца скота или крикливого человека. Фамилия Базиевский тогда означала бы «сын Базия», но с добавлением -ск-, которое часто давали крестьянам при записи в реестры, чтобы подчеркнуть место жительства («из семьи Базиевых»). В пользу этой версии говорит и то, что фамилия встречается в основном на юге России и Украине, где скотоводство было распространено.

Менее вероятна, но возможна связь с тюркским именем Базий (от бази — «храбрый, стойкий»). Однако для фамилии с суффиксом -ск-, типичным для славянской ойконимии, такой корень выглядит привнесённым.

Географически Базиевские — редкая фамилия. По данным переписей, она встречается в единичных записях в Беларуси, на Украине (особенно в Житомирской и Киевской областях) и в южных регионах России. Это подтверждает западнорусский или малороссийский след. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были либо мелкими дворянами (шляхтой), либо зажиточными крестьянами, получившими фамилию по месту жительства в хуторе или усадьбе, которую основал человек с прозвищем Базя.