Фамилия Базыгунов — редкая, и её разговорная, почти «деревенская» основа выдаёт прозвище, а не крестильное имя. Первое, что бросается в глаза: суффикс -ун-. В русских фамилиях он встречается нечасто и обычно указывает на человека, склонного к какому-то действию или состоянию: говорун, ворчун, драчун. Соответственно, Базыгун — это человек, который «базыкает» или «базыгает».

Глагол «базыгать» в южнорусских и поволжских говорах означает «кричать, шуметь, громко плакать, блажить». В некоторых диалектах — «капризничать» или «своевольничать». Так что прозвище Базыгун давали либо крикливому ребёнку, либо взрослому с громким, неуёмным характером, который постоянно «поднимал базар». В отличие от фамилий, образованных от церковных имён (Иванов, Петров), эта — чистый продукт народной наблюдательности: человека назвали по его самой заметной черте.

Фамилия образована по стандартной патронимической модели: к прозвищу Базыгун добавили притяжательный суффикс -ов, получив «сын Базыгуна». Географически фамилия тяготеет к зоне распространения южнорусских говоров: её носители встречаются в Волгоградской, Ростовской областях, а также в Казахстане, куда переселялись крестьяне в ходе столыпинской реформы. В центральных и северных регионах она почти не фиксируется.

Интересно, что в основе лежит звукоподражательный корень «баз-» (от «базарить», «базлать»). Это роднит Базыгунова с фамилиями Базаров, Базанов, но с другим оттенком: не просто «шумный», а «скандальный, плаксивый». В русской ономастике такие прозвища не считались обидными — скорее бытовыми, меткими. Предки Базыгуновых, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми, и фамилия закрепилась за ними уже в XVII–XVIII веках, когда начался массовый переход от уличных прозвищ к наследственным фамилиям.