Фамилия Базыгина — женская форма, а мужская, Базыгин, образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: от основы на -а, -я с помощью суффикса -ин. Этот суффикс указывал на принадлежность: «чей сын?» — Базыгин, то есть сын Базыги. Такая модель характерна для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин так же часты, как на -ов на юге.

Корень фамилии — Базыга. Слово это нечастое, и его значение вызывает споры. Наиболее вероятная версия: базыга — диалектное прозвище, родственное глаголу «базить» или «базланить», что в некоторых говорах означало «громко кричать, шуметь, буянить». Прозвище Базыга могли дать человеку крикливому, беспокойному или, напротив, тому, кто любил поговорить и привлечь к себе внимание. В словаре Владимира Даля встречается слово «базыга» в значении «шатун, повеса» — то есть человек, который бродит без дела, не сидит на месте.

Вторая, менее убедительная версия связывает основу с тюркским словом «базык» — «крепкий, здоровый». Но для русской фамилии такое заимствование маловероятно без промежуточного прозвища, а прямых следов тюркского влияния в бытовании фамилии нет.

Сама фамилия редкая. Встречается в основном в центральной России, в частности в старых записях по Владимирской и Костромской губерниям. Там же, кстати, фиксировались и однокоренные фамилии — Базигин, Базыкин. Суффикс -ин у них общий, а разница в основе (Базыга и Базыка) могла возникнуть из-за местных говоров: в одних диалектах звук [г] переходил в [к] на конце слова.

Таким образом, предок современных Базыгиных — человек, получивший прозвище Базыга. Кем он был по сословию, сказать сложно: фамилия недворянская, но встречалась и у крестьян, и у мещан. В любом случае, прозвище это описывало характер или поведение, а не профессию.