Фамилия Базыкина происходит от прозвища Базыка. В северорусских говорах так называли сварливого, придирчивого человека, а в других диалектах — болтуна. Потомок человека с таким прозвищем со временем получил фамилию Базыкина.

Разбираем словообразовательную модель: суффикс -ин указывает на принадлежность, то есть «сын Базыки». Основа здесь — само прозвище. Что означало исходное слово? В словаре Владимира Даля «базыка» — это говорун, краснобай, но также и бранчливый человек. В псковских и тверских говорах слово «базыкать» означало «кричать, шуметь». Так что прозвище могло закрепиться за двумя разными типами людей: за тем, кто любит пустословить, и за тем, кто постоянно ворчит и придирается. Какая версия правдоподобнее? Скорее всего, обе, в зависимости от региона. В северных областях (Архангельская, Вологодская) чаще давали прозвища по характеру, а не по ремеслу, поэтому «сварливый» — вариант для севера. В центральных и южных говорах «базыка» чаще означало именно «болтун».

Интересно, что фамилия Базыкина — это женская форма. Мужской вариант — Базыкин. Такое окончание (-ин, а не -ов) указывает на древнюю модель образования: от прозвищ, оканчивающихся на -а. Редкий суффикс здесь не в том, что он редкий сам по себе (он очень распространён), а в том, что основа на -а встречается реже, чем на твёрдый согласный.

География бытования фамилии прослеживается слабо, но по данным переписей и телефонных справочников, Базыкины чаще всего встречаются в Вологодской, Кировской и Архангельской областях. Это подтверждает северное происхождение: именно там «базыка» как «сварливый человек» было в ходу. В центральных регионах фамилия встречается реже — возможно, её носители переселились с севера.

Сравнение с однокоренными фамилиями: Базылев, Базылов, Базыкин. Если Базылев и Базылов могли образоваться от имени Базыл (разговорная форма от Василий), то Базыкин и Базыкина — точно от прозвища, а не от имени. Это делает фамилию более «прямой»: она не связана с церковным календарём, а отражает бытовую характеристику человека.

Итог: фамилия Базыкина — не про профессию или место жительства, а про характер предка. Он мог быть либо говорливым, либо сварливым — оба варианта возможны. Точнее сказать нельзя без генеалогического исследования конкретной семьи, но лингвистика даёт эти два ключа.