Фамилия Бечковская — женская форма фамилии Бечковский, и её разговорный вариант Бечковская тоже встречается, хотя литературная норма склоняет обе части. С точки зрения словообразования это типичная фамилия на -ский/-ская, которая в славянском мире указывала на географическое происхождение или принадлежность к месту: такую модель (по суффиксу) в XVI–XVIII веках чаще носили шляхта, духовенство и мещане, но со временем она стала массовой.

Основа — Бечк(о). Это уменьшительная форма от личного имени Бенедикт (через народное Бедько, Бедко) или от Богдан (Богоданный). В белорусских и украинских говорах «бечка» могло быть прозвищем человека с круглым лицом или бочковатой фигурой — от слова «бочка», но с аканьем (бечка). Есть и третья версия: топонимическая. В Польше и на Западной Украине есть несколько сёл с названиями Бечков, Бечкова, Бечковице. Житель такого села получал прозвище Бечковский, а его дочь или жена — Бечковская.

Интересно, что фамилия нечастая, но имеет чёткий ареал: Бечковские (и Бечковские) встречаются в основном на юго-западе Беларуси (Гродненщина, Брестчина) и в соседних воеводствах Польши. Это совпадает с зоной влияния польской модели фамилий на -ski, которая в этих краях была нормой для крестьянства уже в XIX веке. Так что, скорее всего, предки носительницы фамилии были либо мелкими землевладельцами, либо крестьянами из деревни, названной по имени или прозвищу основателя — некоего Бечко.

Если искать однокоренные фамилии, то это Бечко, Бечков, Бечковский. А вот Бечковская — не вариант с ошибкой, а именно женская форма, которая в документах (особенно советского периода) часто закреплялась как неизменяемая, хотя по правилам русского языка склоняется: Бечковской, Бечковскую.