Фамилия Бегчин — одна из тех, что образованы не от имени, а от прозвища, связанного с занятием или образом жизни. В её основе лежит глагол «бегать» или однокоренные слова, но не в прямом значении «быстро передвигаться», а в переносном, профессиональном смысле.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Бегчин — это «сын Бегчи» или «человек из семьи Бегчи». А само прозвище Бегча (или Бегч) в старину давали не бегуну-спортсмену, а тому, кто постоянно в разъездах, в хлопотах, в беготне по делам. В северных и сибирских говорах «бегчей» называли рассыльного, гонца или мелкого торговца, который сновал между деревнями. В некоторых диалектах «бегча» — это ещё и непоседливый, суетливый человек.

Встречается и другая, менее вероятная версия: от тюркского корня «бек» (князь, господин) с адаптацией к русскому произношению. Но она слабая, поскольку фамилия явно русская по словообразованию, а в тюркских языках форма «Бегчи» означала бы «слуга бека», что не даёт типичного для русских фамилий суффикса -ин.

Географически фамилия редкая, с заметным тяготением к Пермскому краю и Удмуртии — регионам, где в XIX веке активно бытовали прозвища, образованные от глаголов. Там «бегча» могло закрепиться за крестьянином, который подрабатывал извозом или доставкой.

Таким образом, предок носителя фамилии Бегчин — скорее всего, не помещик и не военный, а простой человек, чья жизнь проходила в движении: разъездной торговец, посыльный или просто непоседа, получивший прозвище за свой образ жизни.