Фамилия Бегерская — редкий случай, когда географическое происхождение просматривается почти наверняка, а вот с корнем всё не так однозначно. Суффикс -ск- указывает на то, что фамилия образована от названия места: так называли человека, который был родом из поселения Бегеры, Бегерь или Бегерово. Такие топонимы встречаются в западных регионах бывшей Российской империи — в частности, в Беларуси и на западе Украины, где есть сёла с похожими названиями, а также в Прибалтике. Владелец такой фамилии — скорее всего, выходец из шляхты или духовенства, потому что именно эти сословия чаще всего получали фамилии на -ский/-цкий по месту владения или рождения.

С корнем сложнее. Первое, что приходит на ум, — немецкое Beger (производное от Berg — «гора»). В XVIII-XIX веках в Российской империи оседало много немецких колонистов, и фамилия могла сначала звучать как Бегер, а потом, при переходе в русскую среду, обрасти типичным дворянским суффиксам. Однако более вероятна славянская основа. В польском и белорусском языках есть слово «бег» (bóg — «Бог»), но для фамилии Бегерская это маловероятно. Куда реалистичнее версия, что в основе лежит прозвище Бегер от глагола «бегать» — так могли назвать быстроногого, непоседливого человека или гонца. Такой вариант даёт фамилиям Бегер, Бегерев, Бегера, а Бегерская — их «географическая» родственница.

Ещё один пласт — еврейское происхождение. В среде ашкеназских евреев фамилии на -ский часто давали по местечкам (например, Бегин — от Беги, Бегерская — от местечка, название которого могло звучать как Бегер). В этом случае корень может восходить к идишскому «бегер» — «проситель», «нищий», но это лишь предположение, не подкреплённое массовыми записями.

В любом случае, носитель фамилии Бегерская — человек, чьи предки были тесно связаны с конкретной местностью, скорее всего, на западе империи. Фамилия не массовая, не крестьянская (крестьянам давали простые -ов/-ин) и явно указывает на то, что родоначальник либо владел землёй в селе Бегеры, либо получил прозвище, которое потом «привязали» к месту.