Фамилия Бегерский — один из тех случаев, когда напрашивается германский след, но на поверку всё оказывается проще и славянское. Первое, что бросается в глаза — суффикс -ский. В русской ономастике он типичен для фамилий дворянского или шляхетского происхождения, образованных от географических названий (сел, местечек, усадеб). Однако не каждый носитель фамилии на «-ский» — потомок аристократа: в XIX веке такие фамилии нередко давали в духовных училищах и семинариях, искусственно облагораживая простые основы.

Основа Бегер- звучит по-немецки (ср. Beger — «проситель», «нищий», или Bäcker — «пекарь» в искажённой записи). Но если фамилия действительно русская, а не принесённая немецкими колонистами, то более вероятна связь с диалектным словом «беглый». В южнорусских и украинских говорах «бегерь» или «бегирь» могли называть беглого крестьянина, бродягу или человека, ушедшего от рекрутчины. Тогда Бегерский — это «выходец из семьи беглого» или «тот, кто живёт на отшибе, в бегах».

Менее вероятная, но возможная версия — отчество от имени Бегер как варианта крестильного имени Бенедикт (в народной форме Бегед или Бегер). Но это редкая гипотеза, не подтверждённая массовыми записями.

Географически фамилия редкая. В дореволюционных справочниках она встречается в основном в западных губерниях — Могилёвской, Витебской, Киевской, а также среди польской шляхты (как Бегерский или Бегерски). Если ваш предок был из этих мест, он мог быть мелким служилым человеком, однодворцем или обедневшим шляхтичем, чья фамилия образовалась от названия хутора или урочища (например, Бегеровка). В любом случае, основа не связана с высоким статусом — скорее с бытовым прозвищем или местом, откуда человек «бежал» или «был изгнан».