Фамилия Бегиевы, если разобрать её по составу, образована по стандартной русской модели: к основе Бегий (или Беги) добавили суффикс принадлежности -ев, который указывает на «сына» или «потомка» человека по имени или прозвищу Бегий. Вопрос происхождения этой основы — один из самых спорных, и здесь сталкиваются как минимум три разные языковые традиции.

Первая и наиболее вероятная версия связывает фамилию с тюркским миром. В основе могло лежать слово «бек» (князь, повелитель, господин). Под влиянием мягкого гласного «и» конечный звук «к» мог перейти в «г», дав форму «бегий». Эта гипотеза подкрепляется историческим контекстом: в XV–XVII веках многие служилые люди, выходцы из Золотой Орды, из печенегов или половцев, переходили на русскую службу. Их имена и прозвища адаптировались к русской речи, а сами они нередко пополняли ряды дворянства. Поэтому фамилия Бегиевы вполне может указывать на знатного предка тюркского происхождения, чей титул «бек» закрепился в родовом имени.

Вторая версия — северокавказская. В ингушском языке есть прилагательное «бегий», означающее «юмористичный», «смешной». Если прозвище Бегий дали человеку, то он, скорее всего, был весельчаком и балагуром. Однако в чеченском языке существует глагол «бега» (дрожать, трястись), от формы «бегийда» могли образовать прозвище для робкого или трусоватого мужчины. Оба значения прямо противоположны, но лингвистически одинаково возможны. Третья, самая экзотическая гипотеза, выводит фамилию из баскского слова «begi» — «глаз». Согласно ей, родоначальника прозвали Бегием за острое зрение. Эта версия выглядит наименее убедительной: массовая миграция басков в русские земли в XV–XVII веках исторически не подтверждена, и скорее всего, это случайное созвучие.

Таким образом, перед нами фамилия, которая может «помнить» и о тюркском титуле, и о кавказском характере её первого носителя. Спор между этими версиями не решён окончательно, но тюркская (от «бек») кажется ономастам более правдоподобной из-за массового характера таких переходов в истории русского дворянства.