Фамилия Бегиев чаще всего встречается на Северном Кавказе, особенно у ингушей и чеченцев, что сразу задаёт направление поиска её корней. В ингушском языке есть прилагательное «бегий» — «юмористичный», и от него вполне могли образовать прозвище Бегий для жизнерадостного, весёлого человека. Это самая прямая и прозрачная версия.

Но есть и другие варианты, и они показывают, как по-разному можно истолковать одну и ту же звуковую основу. В чеченском языке существует глагол «бега» (дрожать, трястись), одна из форм которого — «бегийда». Если прозвище пошло от этого корня, то Бегием могли назвать человека робкого или трусоватого — прозвище по характеру, данное «от противного» или с насмешкой.

Третья версия уводит совсем далеко — к баскскому слову begi, что значит «глаз». Трудно представить, чтобы кавказское прозвище напрямую заимствовали из баскского, но не исключено, что это случайное звуковое совпадение, которое породило народное переосмысление: мол, Бегий — это тот, кто зорко видит.

Наконец, есть и тюркская гипотеза. Фамилия может восходить к титулу «бек» (князь, господин, повелитель) через чередование согласных к/г под влиянием последующего гласного «и». Такое чередование в тюркских языках встречается, но для фамилий кавказских народов эта версия менее характерна, чем местные, вайнахские корни. Из всех перечисленных вариантов ингушское «бегий» выглядит самым естественным и исторически обоснованным для фамилии Бегиев.